LCA

LCA-树上倍增（求最近公共祖先和路径权值和）[1]

树上节点值范围为$[0,n-1]$

求最近公共祖先节点

u和v的最近公共祖先求法:

  1. 将u和v调整到统一高度
  2. u和v同时向上跳
  3. u和v相遇的第一个节点即为最近公共祖先节点

使用倍增的方法加快上述过程2和3。

利用前缀和求路径权值和

要求u到v的树上路径权值和，先求u和v的最近公共祖先，那么$$u到v的路径权值和=u到根节点的路径权值和+v到根节点的路径权值和-2*最近公共祖先节点到根节点的路径权值和$$

  • fa[i][k]表示节点i的$2^k$级祖先
  • cost[i]表示节点i到根节点的权值和
  • depth[i]表示节点i的深度
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int n = edges.size() + 1;
vector neibor(n, vector<pair<int, int>>());
for (auto &e : edges)
{
    int i = e[0], j = e[1], w = e[2];
    neibor[i].emplace_back(j, w);
    neibor[j].emplace_back(i, w);
}

const int MX = bit_width(n - 1);
vector fa(n, vector(MX + 1, 0));
vector cost(n, 0);
vector depth(n, 0);

[&](this auto &&dfs, int u, int father) -> void
{
    for (auto &[v, w] : neibor[u])
    {
        if (v == father)
        {
            continue;
        }
        depth[v] = depth[u] + 1;
        fa[v][0] = u;
        cost[v] = cost[u] + w;
        for (int k = 1; k <= MX; k++)
        {
            fa[v][k] = fa[fa[v][k - 1]][k - 1];
        }
        dfs(v, u);
    }
}(1, 0);

auto lca = [&](int u, int v) -> int
{
    if (depth[u] > depth[v])
    {
        swap(u, v);
    };
    int dist = depth[v] - depth[u];
    for (int k = 0; dist; ++k, dist >>= 1)
    {
        if (dist & 1)
        {
            v = fa[v][k];
        }
    }
    if (u == v)
    {
        return u;
    }
    for (int k = MX; ~k; k--)
    {
        if (fa[u][k] != fa[v][k])
        {
            u = fa[u][k];
            v = fa[v][k];
        }
    }
    return fa[u][0];
};

auto cal_cost = [&](int u, int v) -> int
{
    int x=lca(u,v);
    return cost[u]+cost[v]-2*cost[x];
};

直接求路径权值和

  • fa[i][k]表示节点i的$2^k$级祖先
  • cost[i][k]表示节点i到$2^k$级祖先的权值和
  • depth[i]表示节点i的深度

该方法比前一种空间复杂度更高。

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int n = edges.size() + 1;
vector neibor(n, vector<pair<int, int>>());
for (auto &e : edges)
{
    int i = e[0], j = e[1], w = e[2];
    neibor[i].emplace_back(j, w);
    neibor[j].emplace_back(i, w);
}

const int MX = bit_width(n - 1);
vector fa(n, vector(MX + 1, 0));
vector cost(n, vector(MX + 1, 0));
vector depth(n, 0);

[&](this auto &&dfs, int u, int father) -> void
{
    for (auto &[v, w] : neibor[u])
    {
        if (v == father)
        {
            continue;
        }
        depth[v] = depth[u] + 1;
        fa[v][0] = u;
        cost[v][0] = w;
        for (int k = 1; k <= MX; k++)
        {
            fa[v][k] = fa[fa[v][k - 1]][k - 1];
            cost[v][k] = cost[fa[v][k - 1]][k - 1] + cost[v][k - 1];
        }
        dfs(v, u);
    }
}(1, 0);

auto lca = [&](int u, int v) -> int
{
    if (depth[u] > depth[v])
    {
        swap(u, v);
    };
    int dist = depth[v] - depth[u];
    for (int k = 0; dist; ++k, dist >>= 1)
    {
        if (dist & 1)
        {
            v = fa[v][k];
        }
    }
    if (u == v)
    {
        return u;
    }
    for (int k = MX; ~k; k--)
    {
        if (fa[u][k] != fa[v][k])
        {
            u = fa[u][k];
            v = fa[v][k];
        }
    }
    return fa[u][0];
};

auto cal_cost = [&](int u, int v) -> int
{
    if (depth[u] > depth[v])
    {
        swap(u, v);
    };
    int dist = depth[v] - depth[u], ans = 0;
    for (int k = 0; dist; ++k, dist >>= 1)
    {
        if (dist & 1)
        {
            ans += cost[v][k];
            v = fa[v][k];
        }
    }
    if (u == v)
    {
        return ans;
    }
    for (int k = MX; ~k; k--)
    {
        if (fa[u][k] != fa[v][k])
        {
            ans += cost[u][k] + cost[v][k];
            u = fa[u][k];
            v = fa[v][k];
        }
    }
    ans += cost[u][0] + cost[v][0];
    return ans;
};
  1. OI-LCA ↩
note
#code
LCA
https://xifenggood.github.io/2025/05/18/note/LCA/
作者
Jie Wang
发布于
2025年5月18日
许可协议